Penjelasan dan Contoh Soal Teorema Bayes

A. Pengertian Teorema Bayes
Teorema Bayes dikemukakan oleh seorang pendeta Presbyterian Inggris pada tahun 1763 yang bernama Thomas Bayes. Teorema Bayes ini kemudian disepurnakan oleh Laplace. Teorema Bayes digunakan untuk menghitung probabilitas terjadinya suatu peistiwa berdasarkan pengaruh yang didapat dari hasil observasi.

Teorema ini menerangkan hubungan antara probabilitas terjadinya peristiwa A dengan syarat peristiwa B telah terjadi dan probabilitas terjadinya peristiwa B dengan syarat peristiwa A telah terjadi.Teorema ini didasarkan pada prinsip bahwa tambahan informasi dapat memperbaiki probabilitas.

B. Teorema Bayes
Misalkan {B1, B2,...,Bn} suatu himpunan  kejadian  yang  merupakan  suatu  sekatan  runag  sampel S dengan P(Bi) ≠ 0 untuk i = 1, 2,...n. Dan misalkan A suatu kejadian sembarang dalam S dengan P(A) ≠ 0.

C. Contoh Soal
Suatu mata kuliah teori probabilitas  diikuti oleh 50 mahasiswa tahun ke 1, 15 mahasiswa tahun ke 2 dan 10 mahasiswa tahun ke 3. Diketauhi mahasiswa yang mendapatkan nilai A adalah 10 orang dari mahsiswa tahun ke 1, 8 orang dari mahasiswa tahun ke 2 dan 5 orang mahasiswa tahun ke 3. Bila seorang mahasiswa dipilih secara acak ,berapakah peluang dia:
a. Mendapatkan nilai A
b. Mahasiswa tahun ke 1 bila diketauhi dia mendapatkan A

Diketahui
1. Jumlah mahasiswa yang mengikuti mata kuliah teori proababilitas adalah 75 orang
2. P(M1), atau peluang mahasiswa adalah mahasiswa tahun ke-1 yaitu 50/75
3. P(M2), atau peluang mahasiswa adalah mahasiswa tahun ke-2 yaitu 15/75
4. P(M3), atau peluang mahasiswa adalah mahasiswa tahun ke-3 yaitu 10/75
5. P(A|M1) atau peluang mahasiswa tahun ke-1 yang mendapatkan nilai A sebesa 10/50
6. P(A|M2) atau peluang mahasiswa tahun ke-2 yang mendapatkan nulai A yaitu 8/15
7. P(A|M3) atau peluang mahasiswa tahun ke-3 yang mendapatkan nulai A yaitu 5/10

a.  P(A)= ∑ P(Mi)xP(A|Mi)
    = (P(M1)xP(A|M1) + P(M2)xP(A|M2) + P(M3)xP(A|M3))
    =(50/75X10/50 + 15/75X8/15 + 10/75X5/10)
    =23/75
b. Mahasiswa tahun ke 1 bila diketauhi dia mendapatkan A
P(M1|A)    = (P(M1) x P(A|M1))/P(A)
    =(50/75 x 10/50)/(23/75)
    =10/23